백준 24894번: 내적 [C++]

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문제

내적

풀이

내적의 정의 $x_ix_j + y_iy_j$에서 식을 $y_i$로 묶으면

\[x_ix_j + y_iy_j = y_i\left(x_j\frac{x_i}{y_i} + y_j\right)\]

변수가 $x_i/y_i$이고 기울기가 $x_j$, y 절편이 $y_j$인 직선으로 생각할 수 있습니다. 따라서 $x_j$를 기준으로 오름차순 정렬한 뒤 벡터마다 내적을 구해 최댓값을 출력하면 됩니다.

시간 복잡도는 $\mathcal{O}(N\log N)$입니다.

코드

코드에서는 유리수 구조체를 이용해 계산했지만 start를 long double 등으로 관리하고 값이 아니라 직선을 반환하는 식으로 작성해도 됩니다.

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define ASSERT(x) assert(x)
#else
#define ASSERT(X) ((void)(0))
#endif

using ll = long long;
using i128 = __int128;

i128 gcd(i128 a, i128 b) {
    while (b) {
        a %= b;
        swap(a, b);
    }
    return a;
}

struct Fraction {
    i128 numer, denom;

    Fraction(ll _numer, ll _denom): numer(_numer), denom(_denom) {
        if (denom < 0) {
            numer = -numer;
            denom = -denom;
        }

        reduce();
    }

    void reduce() {
        bool isNegative = numer < 0;

        if (isNegative)
            numer = -numer;

        i128 g = gcd(numer, denom);
        numer /= g;
        denom /= g;

        if (isNegative)
            numer = -numer;
    }

    bool operator<(const Fraction& f) const {
        return (numer * f.denom) < (denom * f.numer);
    }
    bool operator<=(const Fraction& f) const {
        return (numer * f.denom) <= (denom * f.numer);
    }

    Fraction& operator*=(const ll& x) {
        numer *= x;
        reduce();
        return *this;
    }
    Fraction operator*(const ll& x) const {
        Fraction ret(*this);
        ret *= x;
        return ret;
    }

    Fraction& operator+=(const ll& x) {
        numer += denom * x;
        reduce();
        return *this;
    }
    Fraction operator+(const ll& x) const {
        Fraction ret(*this);
        ret += x;
        return ret;
    }
};

struct Line {
    ll slope, yinter;
    Fraction start;

    Line(ll _slope, ll _yinter):
    slope(_slope),
    yinter(_yinter),
    start(LLONG_MIN, 1) {}

    Fraction getInter(const Line& l) {
        return Fraction(yinter - l.yinter, l.slope - slope);
    }
};

struct LineContainer {
    vector<Line> con;

    void emplace(ll slope, ll yinter) {
        Line l(slope, yinter);

        while (not con.empty()) {
            Line back = con.back();
            ASSERT(l.slope >= back.slope);

            if (l.slope == back.slope) {
                if (l.yinter > back.yinter) {
                    con.pop_back();
                    continue;
                }
                return;
            }

            l.start = l.getInter(back);
            if (l.start <= back.start)
                con.pop_back();
            else
                break;
        }

        con.push_back(l);
    }

    Fraction query(Fraction x) {
        ASSERT(not con.empty());

        Line l = *(upper_bound(
            con.begin(),
            con.end(),
            x,
            [](const Fraction& f, const Line& l) {
                return f < l.start;
            }
        ) - 1);

        return x * l.slope + l.yinter;
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int N;
    cin >> N;

    vector<pair<ll, ll>> vectors(N);
    for (auto& [x, y] : vectors)
        cin >> x >> y;
    sort(vectors.begin(), vectors.end());

    LineContainer con;
    con.emplace(vectors[0].first, vectors[0].second);
    ll answer = 0;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        auto [x, y] = vectors[i];

        Fraction q = con.query(Fraction(x, y));
        q *= y;
        ASSERT(q.denom == 1);
        answer = max(answer, (ll)q.numer);
        con.emplace(x, y);
    }

    cout << answer;
    return 0;
}

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