브론즈 IV

문제

풀이

$x = 0$인 경우는 자명하게 FA수 입니다. $x$가 양의 정수인 경우에 대해 살펴봅시다.

$x$를 $N$자리 수라 하고, 이때 $x$의 첫 자리를 $a$라 합시다. 그렇다면 $F(x) = aN$이고 $x \ge a \times 10^{N - 1}$입니다.

그런데 $N \le 10^{N - 1}$ 이므로 $F(x) = aN \le a \times 10^{N - 1} \le x$입니다. $x$가 자연수이면 $a$와 $N$ 모두 자연수이므로 $F(x)$도 자연수입니다.

$F(x) \le x$에 의해 $x$를 함수 $F$에 넣으면 항상 값이 작거나 같아지는데 자연수는 최솟값 $1$을 가지므로 반드시 언젠가 자기 자신이 나오게 됩니다. 따라서 모든 자연수는 FA수 입니다.

문제에서 주어지는 $x$는 음이 아닌 정수이므로 답은 항상 FA 입니다.